Kurze Herleitung der Masse-Energie-Äquivalenz E = mc2
Kurze Herleitung von E=mc2 – 2006-10-26
So wie bei logischen Schlüssen kann auch bei Herleitungen von physikalischen Formeln nur etwas herauskommen, das schon (implizit) vorausgesetzt wird. Somit setzen verschiedene Herleitungen von E=mc2 die Formel implizit in Form verschiedener Prämissen voraus.
Eine kurze Herleitung, basierend auf kinetischer Energie, benötigt drei Prämissen:
1) dE[v] = v dp[v] (Definition kinetischer Energie)
2) E[v] = k m[v] (Proportionalität von Masse und Gesamtenergie)
3) Grenzgeschwindigkeit c
Aus 1) und 2) folgt:
k dm[v] = v dp[v] = v2 dm[v] + v m[v] dv
[k - v2] dm[v] = v m[v] dv
dm[v]/dv = v / [k - v2] m[v] bzw. dm'[v] = v / [k - v2] m[v]
Aus dieser Differentialgleichung folgt:
m[v] = m[0] / sqrt[1 - v2 / k]
Aus Prämisse 3) folgt k = c2. Somit gilt: E[0] = m[0] c2.
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Eine weniger SRT- und mehr ART-artige Herleitung
Anmerkung 2015-12-05
Warum gilt dE[v] = v∙dp[v], das heisst, warum ändert sich kinetische Energie proportional zum Produkt aus Geschwindigkeit v und Impulsänderung bei v? Ganz allgemein gilt 'Energieänderung = Kraft mal Weg' dE = F ∙ ds und 'Kraft ist Impulsänderung pro Zeit' F = dp/dt. Wegen 'Wegänderung = Zeit mal Geschwindigkeit' ds = v∙dt folgt:
dE = F ∙ ds = F ∙ v∙dt = dp/dt ∙ v∙dt = dp ∙ v
Da dE und dp sich in Abhängigkeit von v ändern, kann man weiter präzisieren:
dE[v] = dp[v] ∙ v
Geschwindigkeitsabhängige Masse tabuisiert – 2006-10-27
Wolfgang:
Eine kurze Herleitung, basierend auf kinetischer Energie, benötigt drei Prämissen:
1) dE[v] = v dp[v] (Definition kinetischer Energie)
2) E[v] = k m[v] (Proportionalität von Masse und Gesamtenergie)
Ralf Callenberg:
Die Masse ist geschwindigkeitsunabhängig (sofern wir ein geschlossenes System haben). Was also bedeutet m[v]?
Das bedeutet natürlich die relativistische Masse eines Körpers in Abhängigkeit der Geschwindigkeit v des Körpers.
Es ist modernen (faktisch aber rückwärtsgewandten) Physikern erlaubt, den Einstein'schen Begriff "relativistische Masse" zu meiden und dafür wieder zu dem einer "invarianten Masse" zurückzukehren, der auf halbem Wege von Newton zu Einstein stecken geblieben ist.
Es ist Physikern auch erlaubt, den alten Erhaltungssatz des Massen-Schwerpunktes für ungültig zu erklären und dafür einen Erhaltungssatz des Gesamtenergie-Schwerpunkts einzuführen.
Es sollte aber niemandem erlaubt sein, sinnvolle Begriffe einfach für tabu, und darauf basierende Gedankengänge für ungültig zu erklären.
Manchmal frage ich mich schon, was dieser Glaubenskrieg gegen den Einstein'schen Massebegriff überhaupt soll.
Relativistische Masse:
o Massenäquivalent der Gesamtenergie
Invariante Masse (Ruhemasse):
o Massenäquivalent der Gesamtenergie ohne eine spezielle Form der kinetischen Energie (kinetische Energie in Form von Rotation und Temperatur werden aber zur invarianten Masse hinzugerechnet.)
Dass die Masse in Abhängigkeit der Geschwindigkeit zunimmt, zeigt doch einwandfrei das Faktum, dass die Masse (sowohl invariante als auch relativistische) eines Gases zunimmt, wenn sich die Temperatur und somit die Geschwindigkeit der Gasteilchen erhöht.
Bei einem einzigen sich bewegenden Gegenstand kann man sich noch vorstellen, sich mit dem Gegenstand mitzubewegen, um so dieser dann nicht mehr vorhandenen kinetischen Energie kein Massenäquivalent zusprechen zu müssen. Bei einem Gas mit seinen unzähligen in alle Richtungen bewegten Teilchen geht das natürlich nicht mehr.
Siehe dazu auch: Euler vs. Newton (bezüglich Kraft und Impuls)
Wolfgang:
Aus 1) und 2) folgt:
k dm[v] = v dp[v] = v2 dm[v] + v m[v] dv
Ralf Callenberg:
Hier steckst Du rein, dass p = m v ist. Da nicht sauber definiert wurde, was m[v] sein soll, frage ich an dieser Stelle, wie Du auf diese Gleichung kommst.
Simple Folgerung aus den Prämissen 1) und 2). Eckige Klammern verwende ich hier immer nur für das Argument einer Funktion.
Nehmen wir statt Geschwindigkeitsabhängigkeit Temperaturabhängigkeit. Die Masse (ob invariant der relativistisch spielt dann keine Rolle) eines Körpers ist somit eine Funktion der Temperatur. Das drücke ich mit m[T] anstatt nur m aus.
Eine Änderung der thermischen Energie und somit der Masse dm, die aus einer Änderung der Temperatur um einen gegebenen (infinitesimalen) Wert dT folgt, ist auch abhängig davon, welche Temperatur der Körper hat. Das heisst, dasselbe dT führt in Funktion der Temperatur T zu verschiedenen dm, was ich durch dm[T] ausdrücke.
dm[T] = f[T] dT --> dm[T]/dT = f[T] --> dm'[T] = f[T]
Wenn solche Abhängigkeiten wie die von dm von T nicht im Auge behalten werden, dann kommt es leicht zu Fehlern.
Wolfgang:
[k - v2] dm[v] = v m[v] dv
dm[v]/dv = v / [k - v2] m[v] bzw. dm'[v] = v / [k - v2] m[v]
Aus dieser Differentialgleichung folgt:
m[v] = m[0] / sqrt[1 - v2 / k]
Aus Prämisse 3) folgt k = c2.
Ralf Callenberg:
Erläuterung?
1. Frage: Lässt sich aus dE[v] = v dp[v] und E[v] = k m[v] die Differentialgleichung m'[v] = v / [k - v2] m[v] ableiten oder nicht?
2. Frage: Was ist die Lösung der Differentialgleichung?
Wolfgang:
Somit gilt: E[0] = m[0] c2.
Ralf Callenberg:
Deine Herleitung ist meiner Meinung nach nicht sauber. Funktioniert nur, weil man weiß, was rauskommen soll.
Den einzigen Punkt, den ich selber nicht wirklich verstehe, ist wie man von der Differentialgleichung auf die Lösung kommt. Weiss da jemand was genaueres?
Geschwindigkeitsabhängige Masse tabuisiert – 2006-10-29
Earthnut:
Du hattest 2 Gleichungen [1) und 2)] mit 5 Variablen [E, p, v, m, k], also waren 3 Variablen frei [5 Var - 2 Gl].
1) dE[v] = v dp[v] wobei dp[v] = v dm[v] + m[v] dv
2) E[v] = k m[v]
Anstatt 5 Variablen, wie du meinst, sind das meiner Meinung:
1. eine "unbekannte Konstante": k
2. eine "echte" Variable: v
3. zwei von v abhängige gesuchte Funktionen: E[v], m[v]
Bei der Energiedifferential-Definition setze ich natürlich voraus, dass p[v] = v m[v]. Es gilt:
dp'[v] = dp[v]/dv = d(v m[v])/dv = (v dm[v] + m[v] dv)/dv
Ich starte also mit der Prämisse:
1) dE[v] = v [v dm[v] + m[v] dv]
Ob man das besser als eine oder als zwei unabhängige Prämissen bezeichnet, ist hier nicht relevant. Das Ganze mit einer Prämisse mehr:
0) p[v] = v m[v] (Definition Impuls)
1) dE[v] = v dp[v] (Definition kinetisches Energiedifferential)
2) E[v] = k m[v] (Proportionalität von Masse und Gesamtenergie)
3) Grenzgeschwindigkeit c
Earthnut:
Du musst also noch eine Gleichung investiert haben [hier p=mv].
Natürlich.
Earthnut:
Du meinst sicher die DGl. m'[v] = v/(k-v2) m[v]
Natürlich. Die folgt auch aus den Prämissen 0) bis 2):
dE[v] = v (v dm[v] + m[v] dv)
k dm[v] = v2 dm[v] + v m[v] dv
(k-v2) dm[v] = v m[v] dv
dm[v] = v/(k-v2) m[v] dv
m'[v] = v/(k-v2) m[v]
Informationen zu dieser Differentialgleichung würden mich interessieren.
Ralf Callenberg:
Ich fragte nicht, wie Du auf m[v] = m[0] / sqrt[1-v2 /k] kommst, sondern woraus folgt, dass k = c² ist.
Aus Prämisse 3 (Grenzgeschwindigkeit c). Dimensions-Betrachtungen alleine zeigen nur, dass k das Quadrat einer Geschwindigkeit sein muss.
Geschwindigkeitsabhängige Masse tabuisiert – 2006-11-01
Wolfgang:
Bei der Energiedifferential-Definition setze ich natürlich voraus, dass p[v] = v m[v].
Ralf Callenberg:
Was heißt "natürlich"? Mit einem m[v] verlässt Du den Bereich der Newtonschen Mechanik. Mit welchem Recht setzt Du dann einfach diese Gleichung an, bzw. behauptest, dass das derart definierte p mit der Energie gemäß Prämisse 1 in Verbindung steht?
Der Impulserhaltungssatz ist älter als der Energieerhaltungssatz. Der Begriff Energie wurde erst Mitte des 19. Jahrhunderts in die Physik eingeführt.
Wenn p[t] = v[t] m[t] der Impuls eines Raumschiffes zur Zeit t ist, dann spielt es keine Rolle, wie sich die Masse m[t] zu t zusammensetzt. Ob zusätzliche Masse auf Zusteigen von Besatzung oder auf dem Massenäquivalent von thermischer oder kinetischer Energie beruht, ist irrelevant. Es zählt nur die effektive Geschwindigkeit und die effektive (reale) Masse zum Zeitpunkt t.
Wenn also beim klassischen p = v m nur die effektive, d.h. die physikalisch unter den gegebenen Bedingungen reale Masse relevant ist, dann folgt aus einer geschwindigkeitsabhängigen Masse m[v] für den Impuls eben nicht p = v m[0] sondern p = v m[v].
Dass die effektive Masse nicht die Ruhemasse ist, zeigt auch sehr schön das Bespiel zwei gleich schwerer Kugeln, die als Gedankenexperiment mittels einer Schur mit je v = sqrt[0.75] c rotieren. Wenn die Ruhemasse jeder Kugel 1 kg ist, dann ist die relativistische Masse jeweils 2 kg. Das rotierende System als Ganzes hat unzweifelhaft eine Masse von 4 kg (unter Vernachlässigung der Schnur) und nicht 2 kg. Ist es nicht höchst sonderbar zu behaupten, die Masse jeder Kugel betrage 1 kg, beide Kugeln zusammen hätten jedoch eine Masse von 4 kg?
Dass die relativistische und nicht die Ruhe-Masse zusammen mit der Geschwindigkeit im Impulserhaltungssatz vorkommen müssen, folgt direkt aus dem Massenschwerpunkt-Erhaltungssatz.
Ich weiss: auch die Erhaltung des Massenschwerpunkts gilt in der modernen orthodoxen Physik genauso nicht mehr wie die Erhaltung der Masse. Aber genau das halte für so bedenklich.
Wenn die Brücken (d.h. einfache, anschauliche, mathematisch formulierbare Gedankengänge), mit denen der physikalische Fortschritt erzielt wurde, durch Redefinition der alten Begriff abgerissen werden, dann wird Physik zu etwas, das am ehesten mit der theologischen Disziplin "Dogmatik" verglichen werden kann, wo unfehlbare Axiome herrschen, an die man glauben muss.
Die wahre Begründung der Physik liegt aber in der Empirie und unserer anschaulichen Vernunft. Zuerst müssen Erkenntnisse durch Naturbeobachtung und korrektes Denken gemacht werden. Erst danach kann ein axiomatisches System erstellt werden, aus dem diese Erkenntnisse ableitbar sind. Aber dann zu glauben, die Begründung der ursprünglich gemachten Erkenntnisse liege im nachträglich geschaffenen Axiomensystem, ist analog zu einer Verkennung von Ursache und Wirkung.
Auch wenn sich mit dem Begriff 'invariante Masse' Teile der Relativitätstheorie einfacher formulieren lassen, darf das nicht dazu führen, einen für das anschauliche, konkrete Denken so wichtigen Begriff wie den der relativistischen Masse aus der Physik zu verbannen.
Ralf Callenberg:
Deine Prämissen scheinen etwas willkürlich gewählt zu sein, gerade so, dass man daraus das gewünschte Resultat herleiten kann.
Ich habe im ersten Beitrag geschrieben, dass "bei Herleitungen von physikalischen Formeln nur etwas herauskommen [kann], das schon (implizit) vorausgesetzt wird". Stellt sich nur noch die Frage, wie "willkürlich" DIESE Prämisse ist: dE[v] = v dp[v]
Als ich das erste Mal bei einer Kritik des Buchs "Requiem für die Spezielle Relativität" von Georg Galeczki und Peter Marquardt auf diese Formel stiess, schrieb ich noch folgendes:
"Dass dieser Differentialausdruck gültig ist, ist keineswegs so selbstverständlich, wie die Autoren glauben machen. Ich war zuerst der Meinung, dass dieser Ausdruck nicht gültig sein kann, da er einer eigenen Herleitung zu widersprechen scheint. Nachdem ich mich später aber an konkreten Beispielen überzeugte, dass er doch gültig ist, zweifelte ich an meiner Herleitung, die ..." (Verteidigung der Relativitätstheorie vor unberechtigter Kritik)
Wolfgang:
Manchmal frage ich mich schon, was dieser Glaubenskrieg gegen den Einstein'schen Massebegriff überhaupt soll.
Ralf Callenberg:
Es ist kein Glaubenskrieg, es hat sich lediglich als physikalisch konsistenter erwiesen, von dem Begriff der geschwindigkeitsabhängigen Masse abzurücken. Eine sehr schöne, didaktische Erläuterung findet man hier. Daraus ein zentraler Satz im Punkt "Philosophisches":
"Nicht der Begriff 'Materie' (Masse) wird in der (speziellen) Relativitätstheorie einer kritischen Revision unterworfen, sondern die Begriffe 'Raum' und 'Zeit'."
Natürlich wurde auch der Begriff der Masse einer "Revision" unterzogen: Die neo-orthodoxe Definition von "Masse" als Ruhemasse macht diese "Revision" noch offensichtlicher, denn "Masse", als "quantitatives Mass" von "Materie" bzw. "Substanz" (S.12), kann jetzt verschwinden oder entstehen. Es wird wohl niemand behaupten, zwei Körper mit je 1 kg (einer davon aus Antimaterie) könnten in der klassischen Mechanik zu 0 kg "Masse" verschmolzen werden.
Aber das stärkste Argument gegen den "relativistischen Energiesatz" E2 = m2 c4 + p2 c2 als Ersatz für die konsequente Masse-Energie-Äquivalenz stellt sicher der Impuls von Photonen in transparenten Medien (mit Brechungsindex n) dar.
Siehe dazu: Plädoyer für die Masse-Energie-Äquivalenz
Kurze Herleitung von E=mc2 – 2006-11-10
Philo:
Es ist einfach Unsinn, von "der" Gesamtenergie eines Teilchens oder allgemein physikalischen Systems zu reden. Deshalb schweigt sich die klassische Physik darüber aus. Dieser Begriff ist bedeutungslos.
"Streng genommen widerspricht der allgemeine Begriff Energie ... der klassischen Mechanik:
Wenn ein ausgebrannter Stern dem Gravitations-Druck nicht mehr standhalten kann und auf die Hälfte seines Radius kollabiert, wird eine bestimmte Energiemenge frei, und bei jeder weiteren Halbierung vervierfachen sich die Gravitations-Kräfte und die freigewordene Energie wird verdoppelt. Da ein Stern somit eine unendliche Energiemenge freisetzen könnte, wäre die gravitations-potentielle Energie aller Körper unendlich." (Begriffliche Begründung einer Relationalitätstheorie)
Da sowohl Masse ohne Energie als auch Masse mit unendlicher Energie der Vernunft widersprechen, stellt sich die Frage nach dem Verhältnis zwischen der Masse und der Energie gegebener Objekte. Die bei weitem naheliegendste und (im Occkham'schen Sinne) einfachste Hypothese ist eine Proportionalität von (Gesamt-)Masse und (Gesamt-)Energie gemäss E = k m mit k als Proportionalitätsfaktor.
Aus den üblichen Definitionen
§ Kraft = Impulsänderung : F = dp
§ Impuls = Masse mal Geschwindigkeit : p = m v
§ Energieänderung = Kraft mal Wegänderung : dE = F ds
folgt dann (wie in vorigen Beiträgen gezeigt)
m'[v] = v/[k-v2] m[v]
und somit
m[v] = m[0] / sqrt[1 - v2 / k]
mit einer Grenzgeschwindigkeit sqrt[k]. Die bei weitem naheliegendste Annahme für diese Grenzgeschwindigkeit ist natürlich c, und somit haben wir:
E[v] = m[v] c2 = m[0] c2 / sqrt[1 - v2/c2]
Philo:
Aber natürlich kann ich behaupten, dass jedem Körper der Masse m die Energie mc² zukommt. Widerlegen lässt es sich nicht, bestätigen aber auch nicht.
Gedankenexperiment: Lass sowohl die Sonne als auch einen Probekörper der Masse M jeweils auf einen mathematischen Punkt zusammenschrumpfen. Wenn nun beim Fall des Probekörpers von der Erde zum Sonnenmittelpunkt (mit Potential minus unendlich) genau die Energie E = M c2 frei wird (auf Gravitationspotential der Erde), dann ist das eine wahrhaft physikalische Bestätigung der Formel E = m c2. Und genau dies ergibt sich, wenn abgesehen von der Zusatzhypothese der Massen-Energie-Äquivalenz klassisch gerechnet wird (siehe: Begriffliche Begründung einer Relationalitätstheorie).
Das Energie-Äquivalent m c2 eines beliebigen Körpers der Masse m ist somit die "absolute" Gravitationspotential-Energie des Körpers.
Philo:
Interessanterweise war es ausgerechnet Heisenberg, der sich gegen das Märchen von der Beziehung zwischen Atombombe und RT gewandt hat ("Missverständnis").
Was genau hat Heisenberg als "Missverständnis" bezeichnet? Dass die RT im Prinzip nicht mehr mit Atomenergie als mit anderen Energieformen zu tun hat, ist offensichtlich. Trotzdem waren Massenänderungen aufgrund von Energieänderungen erstmals bei Atomenergie im messbaren Bereich.
Norbert Dragon:
Woher weißt Du, dass bei einem Photon die Energie E und der Impuls p durch E = c p zusammenhängen?
Philo:
Aus theoretischen Überlegungen, die bereits durch Lebedew vor Einsteins "Entdeckung" von E = mc² experimentell bestätigt wurden. Aber ich habe keine Lust, Ihnen die Geschichte der Physik beizubringen: Lebedew, Strahlungsdruck
Wenn diese "theoretischen Überlegungen" klar und überzeugend wären, wäre die Abraham-Minkowski-Kontroverse zum Strahlungsdruck in transparenten Medien wohl erst gar nicht entstanden.
Der Impuls eines Photons mit Energie E in einem transparenten Medium mit Brechungsindex n ist gemäss Abraham:
p = (E/c2) (c/n)
Gemäss Minkowski ist er hingegen:
p = (E/c2) (c n)
Ich würde sowohl von "Philo" als auch von Norbert Dragon gerne wissen, welche Position sie in dieser fundamentalen Frage beziehen: The momentum of light in media – the Abraham-Minkowski controversy
Ich jedenfalls bin der Meinung, dass hier nur Abraham mit den Prinzipien der klassischen Physik in Einklang zu bringen ist.